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数据抽象

GinShio  收录于  类别 Programming 和 系列 CS61A Note
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系列 - CS61A Note

在 scheme 中一类最基础的异构数据结构即 list

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(list 1 2 3 "str")
'(1 2 3 "str")

当然 list 可以看作是个二元组 pair，也有称作 dotlist

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(cons 1 2)            ;; '(1 . 2)
(cons 1 '(2))         ;; '(1 2)
(cons* 1 2 3 4)       ;; '(1 2 3 . 4)  '(1 . (2 . (3 . 4)))
(cons* 1 2 '(3 4))    ;; '(1 2 3 4)
'(1 . ())             ;; '(1)
'(1 . (2 . (3 . ()))) ;; '(1 2 3)
'(1 . (2 3))          ;; '(1 2 3)
'((1 2) . (3 4))      ;; '((1 2) 3 4)

访问 list 的首个元素使用 car，而获取尾元素使用 cdr

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(car '(1 2 3)) ;; 1
(cdr '(1 2 3)) ;; (2 3)
(car '(1))     ;; 1
(car '(1))     ;; ()

获取整个 list 的长度则是使用 length 方法

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(length '())          ;; 0
(length '(1 2))       ;; 2
(length '(1 . (2 3))) ;; 3

随机访问 list 中的元素

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(list-ref '(1 2 3 4 5) 3)    ;; 4
(list-ref '(1 . (a . ())) 1) ;; a

更多 list 的操作可以翻阅 Lists

Google 大名鼎鼎的 MapReduce 就是来源于此。Mapping / Reduction 是一类高阶函数，其作用是抽象针对 List 的不同操作。

  • Map: 对容器中的每个元素进行一个相同的操作
  • Reduce: 根据一个相同的规则对容器中的元素进行规约

  • map 无副作用的对 lists 进行从左至右计算，但是对每个元素的操作顺序是未指定的

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    (map (lambda (n) (expt n n)) '(1 2 3 4)) ;; (1 4 27 256)
(map + '(1 2 3) '(4 5 6) '(7 8 9))   ;; (12 15 18)

  • map* 将初值附加在结果之后的 map

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    (map* '() + '(1 2 3) '(4 5 6)) ;; (5 7 9)
(map* '(1 2 3) + '(4 5 6))     ;; (4 5 6 1 2 3)

  • for-each 是可以带有副作用的 map，因为保证每个元素按顺序执行

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    (let ((v '((1 2) (3 4) (5 6))))
  (for-each (lambda (x)
              (set-cdr! x (list (+ (car x) (cadr x))
                                (* (car x) (cadr x)))))
            v)
  v) ;; ((1 3 2) (3 7 12) (5 11 30))

规约通常有一个初始值，并将集合中的每个元素与初始值进行一定操作

  • reduce 左结合地进行规约操作，仅在 list 为空时使用初始值

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    (reduce + 0 '(1 2 3 4))      ;; 10
(reduce + 0 '(foo))          ;; foo
(reduce + 0 '())             ;; 0
(reduce list '() '(1 2 3 4)) ;; (4 (3 (2 1)))

  • reduce-right 右结合地进行规约操作，仅在 list 为空时使用初始值

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    (reduce-right + 0 '(1 2 3 4))      ;; 10
(reduce-right + 0 '(foo))          ;; foo
(reduce-right + 0 '())             ;; 0
(reduce-right list '() '(1 2 3 4)) ;; (1 (2 (3 4)))

  • fold-left 左结合地进行规约操作，且总是使用初始值

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    (fold-left + 0 '(1 2 3 4))      ;; 10
;; (fold-left + 0 '(foo))          ;; Error: is not the correct type
(fold-left + 0 '())             ;; 0
(fold-left list '() '(1 2 3 4)) ;; ((((() 1) 2) 3) 4)

  • fold-right 右结合地进行规约操作，且总是使用初始值

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    (fold-right + 0 '(1 2 3 4))      ;; 10
;; (fold-right + 0 '(foo))          ;; Error: is not the correct type
(fold-right + 0 '())             ;; 0
(fold-right list '() '(1 2 3 4)) ;; (1 (2 (3 (4 ()))))

  • there-exists? 类似其他语言中的 any?

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    (define (any? set predicate)
  (fold-left (lambda (acc v) (or acc (predicate v))) #f set))
(there-exists? '(1 2 3) (lambda (v) (= 0 (remainder v 2)))) ;; #t
(there-exists? '(1 3 5) (lambda (v) (= 0 (remainder v 2)))) ;; #f

  • for-all? 类似于其他语言中的 all?

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    (define (all? set predicate)
  (fold-left (lambda (acc v) (and acc (predicate v))) #t set))
(for-all? '(1 2 3) (lambda (v) (= 1 (remainder v 2)))) ;; #f
(for-all? '(1 3 5) (lambda (v) (= 1 (remainder v 2)))) ;; #t

Vector 同样是异构结构

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(vector 1 2 3 "str")                        ;; #(1 2 3 "str")
(make-vector 3 1)                           ;; #(1 1 1)
(make-vector 3 '(1 2))                      ;; #((1 2) (1 2) (1 2))
'#(1 #\A "str")                             ;; #(1 #\A "str")
(make-initialized-vector 5 -)               ;; #(0 -1 -2 -3 -4)
(make-initialized-vector 5 (lambda (x) (* x x))) ;; #(0 1 4 9 16)

当然 list 和 vector 是可以互相转换的

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(vector->list '#(1 2 3)) ;; (1 2 3)
(list->vector '(1 2 3))  ;; #(1 2 3)

根据 MIT-scheme 的说法，vector 性能更好，且占用的内存更少。不过其操作方法也更少。

在某些语言中 BitStrings 也被称作 bitmap (位图)。

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'#*11001100             ;; #*11001100
(make-bit-string 7 #t)  ;; #*1111111
(bit-string-allocate 7) ;; #*0000000

通常位图都支持按位运算

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(bit-string-not  #*0011)        ;; #*1100
(bit-string-and  #*0011 #*1010) ;; #*0010
(bit-string-andc #*0011 #*1010) ;; #*0001 (and #*0011 (not #*1010))
(bit-string-or   #*0011 #*1010) ;; #*1011
(bit-string-xor  #*0011 #*1010) ;; #*1001

常见的修改操作也是支持的

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(let ((x #*1010)) (bit-string-set! x 2) x)   ;; #*1110
(let ((x #*1010)) (bit-string-clear! x 1) x) ;; #*1000
(let ((x #*1010)) (bit-string-fill! x #f) x) ;; #*0000
(let ((x #*1010)) (bit-string-move! x #*0011) x) ;; #*0000

由于 lisp 中整型是无上限的，因此可以将任意大的整型与位图进行互转换

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(unsigned-integer->bit-string 16  10000) ;; #*0010011100010000
(signed-integer->bit-string   16 -10000) ;; #*1101100011110000
(bit-string->unsigned-integer #*0010011100010000) ;;  10000
(bit-string->signed-integer   #*1101100011110000) ;; -10000

有时我们需要对基本数据进行更高层次的抽象，处理与数据相关的各种问题。因此数据抽象就显得尤为重要了。

比方说，要实现一个有理数的计算，首先要有对有理数这一数据的抽象。

  • (make-rat n d)，构造一个分子为 n 分母为 d 的有理数
  • (numer x) 获取有理数的分子
  • (denom x) 获取有理数的分母

现在我们可以轻松实现有理数的相关运算

  • (add-rat x y) 两个有理数相加 \[\frac{n_{1}}{d_{1}}+\frac{n_{2}}{d_{2}}=\frac{n_{1}d_{2}+n_{2}d_{1}}{d_{1}d_{2}}\]

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    (define (add-rat x y)
  (make-rat (+ (* (numer x) (denom y))
               (* (numer y) (denom x)))
            (* (denom x) (denom y))))

  • (sub-rat x y) 两个有理数相减 \[\frac{n_{1}}{d_{1}}-\frac{n_{2}}{d_{2}}=\frac{n_{1}d_{2}-n_{2}d_{1}}{d_{1}d_{2}}\]

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    (define (sub-rat x y)
  (make-rat (- (* (numer x) (denom y))
               (* (numer y) (denom x)))
            (* (denom x) (denom y))))

  • (mul-rat x y) 两有理数相乘 \[\frac{n_{1}}{d_{1}}\cdot\frac{n_{2}}{d_{2}}=\frac{n_{1}n_{2}}{d_{1}d_{2}}\]

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    (define (mul-rat x y)
  (make-rat (* (numer x) (numer y))
            (* (denom x) (denom y))))

  • (div-rat x y) 两有理数相除 \[\frac{n_{1}}{d_{1}}\div\frac{n_{2}}{d_{2}}=\frac{n_{1}d_{2}}{d_{1}n_{2}}\]

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    (define (div-rat x y)
  (make-rat (* (numer x) (denom y))
            (* (denom x) (numer y))))

  • (eq-rat x y) 判断两有理数是否相等 \[\frac{n_{1}}{d_{1}}=\frac{n_{2}}{d_{2}},\ \texttt{if}\ n_{1}d_{2}=n_{2}d_{1}\]

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    (define (eq-rat? x y)
  (= (* (numer x) (denom y))
     (* (numer y) (denom x))))

现在只抽象了方法，甚至还没考虑如何实现有理数，但已经将各个有理数的使用方法完成了。

构造有理数可以选用 pair 进行构建

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(define make-rat cons)
(define numer car)
(define denom cdr)

比如示例中的有理数，使用了 make-rat 等方法对有理数进行构造，而使用 add-rat 等方法对有理数进行操作，而这些操作使用 make-rat 进行构造。也就是说，从上层看没有任何与 pair 相关的操作，使用时并不需要关心这些有理数是如何构建、使用的，因此这种方式也被称作 抽象屏障。

一般来说，可以将 数据 定义为一组适当的选择函数与构造函数，以及为这些过程合法表示而指定的一组特定规则。数据抽象在复合数据的使用上是十分重要的，可以利用数据抽象的理论设计出不会被实现细节纠缠的程序。另一个重要原则就是程序接口。

如计算一棵树中，值为奇数的结点的平方和。

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(define (sum-odd-squares tree)
  (cond ((null? tree) 0)
        ((not (pair? tree)) (if (odd? tree) (square tree) 0))
        (else (+ (sum-odd-squares (car tree))
                 (sum-odd-squares (cdr tree))))))

实际上这与级联处理中处理信号的方式相似，是从一个枚举器(enumerate) 开始，它产生出所有给定树的树叶的信号；接下来信号经过过滤器(filter)，将不是奇数的叶结点全部去除；之后信号会进入一个转换器(converter) 对其进行结果映射(map)；最终信号被输入到累加器(accumulator) 将所有元素组合起来。

不过 sum-odd-squares 并没有展现出这种信号流结构，其中一部分 enumerate 是由 null? 和 pair? 实现的，而另一部分是由树形递归实现的，这种结构并不如信号流清晰。

首先最简单的是 Mapping-Reduction 以及 filter，这是 scheme 原本就提供的。我们只需要实现对应的枚举操作即可

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(define (enumerate tree)
  (cond ((null? tree) '())
        ((not (pair? tree)) (list tree))
        (else (append (enumerate (car tree))
                      (enumerate (cdr tree))))))

最终可以用这些操作组合起来，实现我们需要的求和函数。可以看到组合而来的函数既简单又清晰

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(define (sum-odd-squares tree)
  (reduce + 0
          (map square
               (filter odd? (enumerate tree)))))

有时一个抽象数据可以有多种表示方法，如复数，就可以有直角坐标形式 (实部和虚部) 或者极坐标形式 (模和幅角)。

如果同时使用多种表示，那么就需要一个标志来确定当前数据是被哪种形式所表示的。另外，由选择函数和构造函数形成的抽象屏障，可以将选择具体形式的时间向后拖延，并保持系统设计的灵活性。

对此，我们只需提供从对象中提取类型标志以及对应的谓词，就可以方便分辨出现在到底使用的是哪种形式的抽象。

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(define (type-tag datum)
  (if (pair? datum)
      (car datum)
      (error "Bad tagged datum -- TYPE_TAG" datum)))
(define (contents datum)
  (if (pair? datum)
      (cdr datum)
      (error "Bad tagged datum -- CONTENTS" datum)))
(define (rectangular? complex)
  (eq? (type-tag complex) 'rectangular))
(define (polar? complex)
  (eq? (type-tag complex) 'polar))

这样我们可以很轻松地在系统中对复数多重表示进行不同的实现。

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(define (real-part complex)
  (cond ((rectangular? complex) (real-part-rectangular (contents complex)))
        ((polar? complex) (real-part-polar (contents complex)))
        (else (error "Unknow type -- REAL-PART" complex))))
(define (real-part-rectangular complex) (car complex))
(define (real-part-polar complex)
  (* (mangnitude-polar complex) (cos (angle-polar complex))))
(define (mangnitude-polar complex) (car complex))
(define (angle-polar complex) (cdr complex))

如果用 C++ 实现，可以用泛型的方式

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template <Form f> auto real_part(Complex<f> const&) -> double {
    static_assert(false, "Unknow type -- REAL-PART");
}
template <> auto real_part(Complex<Form::Rectangular> const& z) -> double {
    return ::std::get<0>(z);
}
template <> auto real_part(Complex<Form::Polar> const& z) -> double {
    return ::std::get<0>(z) * ::std::cos(::std::get<1>(z));
}

显然，使用泛型实现的 real_part 比 scheme 中的 real_part 要清晰的多。在 scheme 中我们实现了基于形式的派发，很明显接口中需要知道所有已知的形式；而 C++ 中，完全可以通过类型区分形式，即基于类型的派发。但是在 scheme 中，这是不现实的，需要手动测试传入接口的类型，并且保证每个形式的实现不会重名。而 C++ 中使用泛型的缺点就是，类型系统不认为这两个形式的复数是同一种类型，也就是说如果想用容器来存储复数类型的数据是不可能的。

因此在 scheme 中，以数据导向的程序设计方法进一步将系统模块化。好的方法是做一个类似注册的做法，用类似 get / set 的方法将每个模块的函数注册到表中。

操作 / 类型 Polar Rectangular
real-part real-part-polar real-part-rectangular
imag-part imag-part-polar imag-part-rectangular
magnitude magnitude-polar magnitude-rectangular
angle angle-polar angle-rectangular

这样只需要在对应模块中进行操作，这样不但不会造成名称污染，还方便对代码进行扩展。

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(define (apply-generic op . args)
  (let* ((type-args (map type-tag args))
         (proc (get op type-tags)))
    (if proc
        (apply proc (map contents args))
        (error "No method for these types -- APPLY-GENERIC"
               (list op type-tags)))))
(define (real-part complex) (apply-generic 'real-part complex))
更新于 02-17
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